Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом[2]. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур.
Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
Как я понимаю, здесь речь идёт о вычислении площади круга "методом" заполнения его квадратами всё более и более малой площади, при котором площадь получающейся фигуры будет бесконечно приближаться к площади круга, но никогда её не достигнет (и то же самое будет происходить и с заполнением сферы кубиками).
И кстати, обратите внимание на то, что предел и асимптота (про которую здесь не раз писано) - одно и то же (несуществующее) "явление":
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению.
Асимпто́та, или аси́мптота (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
И даже график у них - "один на двоих":
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.
Затухающие колебания. y=e^ sin(x). Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
И не один из "гениев" этого не заметил.
Так же, как и того, что приближение приводит к столкновению.
Что можно понять только отойдя от геометрии и перейдя к физике (чего "гениям" в голову не приходит).
Итак, вместо линий рассмотрим сближающиеся тела: при неизменных траекториях они неизбежно столкнутся.
А почему же возможно "бесконечное приближение" множества квадратиков к окружности и прямой к кривой?
Да потому же, что тут "имеет место" даже не методологическая, а идеологическая ошибка, заключающаяся в том, что кривое пытаются измерить прямым.
И поскольку, естественно, математикам это не удалось, они вместо решения (несуществующей, как вы теперь поняли) задачи начали "строить теорию".
Которая и увела их в желанные дебри, дарующие деньги и положение.
А поскольку мне это всё без надобности, то я перейду к задаче.
К её постановке, правильность которой гарантирует её решение.
И я делаю очень простой ход, я кривое измеряю кривым - точнее, бесконечное бесконечным.
Чего математики ни могли, не могут, и не смогут никогда, ибо они знают лишь дискретность - деление целого на части, ибо с целым (которое безначально и бесконечно) они работать не умеют.
А я могу, например, в нуждающийся в измерении шар налить воду, а потом, выливая её, измерить её объём, и исходя из него, вычислить размер сосуда.
И как-то ещё, наверное, но сейчас нет времени деталями заниматься - после того, как понят принцип (ещё один принцип).
